Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Cardinal : Card(E) = nombre d'éléments distincts de l'ensemble fini E. • Card() = 0. • Arbre de choix : le nombre d'issues est le produit des nombres de branches à chaque niveau si le nombre de choix est indépendant des choix antérieurs. • Tableaux croisés : idéaux pour dénombrer 2 critères simultanés.

Le cours

Fondamentaux de Première : Ensembles finis et arbres de dénombrement Le cardinal d'un ensemble fini E, noté Card(E) ou |E|, est le nombre d'éléments distincts qu'il contient. Par convention, pour l'ensemble vide : Card() = 0. L'arbre de choix Un arbre de dénombrement permet de schématiser une succession de choix : • Chaque niveau correspond à une étape de décision. • Chaque branche issue d'un nœud représente une option possible. • Le nombre total d'issues est égal au nombre de feuilles (extrémités de chemins). Tableaux à double entrée Pour dénombrer les issues issues de deux étapes (comme le lancer de deux dés à 6 faces), une grille rectangulaire de dimensions n p donne visuellement l'ensemble des n p couples d'issues sans omission ni doublon. Règle d'or du dénombrement Dénombrer, c'est compter méthodiquement : ne rien oublier, ne rien compter deux fois. Toujours expliciter si l'ordre compte et si la répétition est autorisée.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement