Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Permutation : ordonnancement de tous les n éléments sans répétition. • Nombre de permutations : n! = n (n-1) 1. • Convention : 0! = 1 ; on a aussi 1! = 1. • Relation de récurrence : (n+1)! = (n+1) n!.

Le cours

Définition d'une permutation et de la factorielle Soit E un ensemble fini à n éléments. Une permutation de E est un arrangement ordonné de TOUS les n éléments de E sans répétition (une bijection de E dans lui-même). Théorème : nombre de permutations Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est noté n! (factorielle de n) : n! = n (n-1) (n-2) 2 1 Par convention, 0! = 1 ; la définition donne aussi 1! = 1. Ordre de grandeur et croissance La factorielle croît extrêmement rapidement : • 3! = 6 • 4! = 24 • 5! = 120 • 6! = 720 • 10! = 3\,628\,800 Modèle physique : la file d'attente Ordonner n personnes dans une file d'attente : n choix pour la première place, puis (n-1) pour la deuxième, etc., jusqu'à 1 choix pour la dernière place. Le total est n!.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement