Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Formule du binôme : (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k. • Le développement compte n+1 termes. • Les exposants de a et b vérifient toujours : k + (n-k) = n. • Les coefficients sont les nombres de la ligne n du triangle de Pascal.

Le cours

Le théorème du binôme de Newton Pour tous nombres réels ou complexes a et b et pour tout entier naturel n 1 : (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k = n0b^n + n1ab^n-1 + + nna^n Compréhension combinatoire du développement Développer (a+b)^n = (a+b)(a+b)(a+b) consiste à choisir soit a soit b dans chacun des n facteurs. Pour obtenir le monôme a^k b^n-k, on doit choisir le terme a dans exactement k parenthèses parmi les n disponibles : il y a nk façons de le faire. Cas (a-b)^n avec alternance de signes En remplaçant b par (-b) : (a-b)^n = _k=0^n nk (-1)^n-k a^k b^n-k Les signes + et - alternent rigoureusement dans le développement. Lien direct avec le triangle de Pascal Les coefficients successifs du développement de (a+b)^n sont exactement les éléments de la ligne n du triangle de Pascal. (Exemple pour n=3 : 1, 3, 3, 1 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3).

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement