Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants

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À retenir

• Principe multiplicatif : k étapes successives indépendantes N = n_1 n_2 n_k. • Règle logique : « ET » multiplication ; « OU » (disjoint) addition. • Les nombres de choix n_i doivent être constants quel que soit le résultat précédent.

Le cours

Le principe fondamental du produit (règle de multiplication) Si une procédure se décompose en k étapes successives, où la première étape offre n_1 choix possibles, la deuxième n_2 choix (quel que soit le résultat de la première), ..., et la k-ième n_k choix, alors le nombre total de configurations distinctes est le produit : N = n_1 n_2 n_k Choix indépendants du nombre de possibilités L'exigence cruciale du principe multiplicatif n'est pas que les choix soient identiques, mais que le nombre d'options disponibles à l'étape i ne varie pas selon les choix particuliers faits aux étapes précédentes. Distinction fondamentale : Somme ou Produit ? • On utilise le produit () quand les actions sont reliées par « ET » (choix successifs ou simultanés). • On utilise la somme (+) quand les actions s'excluent mutuellement reliées par « OU » (cas disjoints). Exemple type : les numéros de mobile Dans un modèle simplifié, un numéro de mobile commence par 06 ou 07 (2 choix), puis comporte 8 chiffres quelconques (10 choix chacun). Par le principe multiplicatif : 2 10^8 = 200 millions de numéros.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement