Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Ensembles disjoints : Deux ensembles A et B sont disjoints si A B = . Dans ce cas, Card(A B) = Card(A) + Card(B). • Partition d'un ensemble : Des sous-ensembles A_1, A_2, , A_k forment une partition de E s'ils sont deux à deux disjoints (A_i A_j = pour i j) et que leur réunion forme E. • Complémentaire : Le complémentaire de A dans E est noté A. On a Card(A) = Card(E) - Card(A). • Événement 'au moins un' : Le contraire de 'au moins un succès' est 'aucun succès'.

Le cours

Rappel de Première : ensembles disjoints et partition Deux parties A et B d'un ensemble E sont disjointes lorsqu'elles n'ont aucun élément commun : A B = . En probabilités, on parle d'événements incompatibles. Des parties A_1, A_2, , A_k forment une partition de E lorsque : aucune n'est vide, elles sont deux à deux disjointes, et leur réunion est E tout entier. Chaque élément de E appartient alors à une et une seule des parties. Cardinal d'une partition Si A_1, , A_k forment une partition de E : Card(E) = Card(A_1) + Card(A_2) + + Card(A_k) Exemple : les 32 cartes d'un jeu se répartissent en 4 couleurs de 8 cartes, et 8 + 8 + 8 + 8 = 32. Partie et complémentaire Une partie A et son complémentaire A forment la partition la plus simple de E (deux morceaux). D'où : Card(A) + Card(A) = Card(E) Le contraire de « au moins un élément a la propriété » est « aucun élément ne l'a » : c'est le complémentaire qui sert le plus en Terminale. Vérifier avant d'additionner Avant d'additionner des effectifs, contrôle les deux conditions : pas de recouvrement (sinon un élément est compté deux fois) et pas d'oubli (sinon le total est trop petit). Dans \1, , 10\, « pairs » et « multiples de 3 » ne sont pas disjoints : 6 appartient aux deux.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement