Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Somme classique : _k=0^n nk = 2^n (poser a=1, b=1). • Somme alternée : _k=0^n (-1)^k nk = 0 pour n 1 (poser a=-1, b=1). • Somme pondérée par puissances : _k=0^n nk x^k = (1+x)^n. • Pour n 1 : parties de taille paire = parties de taille impaire = 2^n-1.
Le cours
Évaluation du binôme en des valeurs particulières En choisissant des valeurs astucieuses pour a et b dans l'identité (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k, on obtient instantanément des identités combinatoires fondamentales. Somme totale des coefficients (a = 1, b = 1) (1+1)^n = _k=0^n nk 1^k 1^n-k _k=0^n nk = 2^n Retrouve le cardinal de l'ensemble des parties P(E). Somme alternée (a = -1, b = 1) Pour n 1 : (-1+1)^n = _k=0^n nk (-1)^k _k=0^n (-1)^k nk = 0 Conséquence : la somme des coefficients de rangs pairs est égale à la somme des coefficients de rangs impairs, et chacune vaut 2^n-1. (Pour n = 0, la somme vaut 1.) Somme avec puissances de 2 (a = 2, b = 1) _k=0^n nk 2^k = (1+2)^n = 3^n Dénombre les couples (A, B) de parties disjointes d'un ensemble à n éléments : chaque élément est dans A, dans B ou dans aucune des deux (3 choix).
Dans ce chapitre
- Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
- Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
- Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
- Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
- Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
- k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
- Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
- Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
- Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
- Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
- Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
- Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
- Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
- Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
- Construction et lecture du triangle de Pascal
- Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
- Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
- Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
- Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
- Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
- Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
- Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement