Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k

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À retenir

• Symétrie : nk = nn-k pour tout 0 k n. • Règle d'or de calcul : si k > n/2, remplacer systématiquement nk par nn-k. • Exemples clés : nn-1 = n1 = n, nn = n0 = 1. • La ligne n du triangle de Pascal est symétrique par rapport à son milieu.

Le cours

Propriété fondamentale de symétrie Pour tous entiers naturels n et k tels que 0 k n : nk = nn-k Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n est strictement égal au nombre de façons de choisir les (n-k) éléments à exclure. Démonstration algébrique Par la formule des factorielles : nn-k = n!/(n-k)!(n-(n-k))! = n!/(n-k)!k! = nk Les facteurs k! et (n-k)! sont simplement permutés au dénominateur. Simplification massive des calculs Lorsque k > n/2, la symétrie permet de ramener le calcul à un indice beaucoup plus petit : 10098 = 1002 = 100 99/2 = 4950 Calculable en 5 secondes au lieu d'une fraction à 98 termes ! Interprétation géométrique Chaque ligne du triangle de Pascal est un palindrome : elle se lit de la même façon de gauche à droite que de droite à gauche (symétrie par rapport à l'axe vertical passant par le milieu de la ligne).

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement