Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')

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À retenir

• Règle réflexe : « Au moins un » passer au complémentaire : Total - « Aucun ». • Card(A) = Card(E) - Card(A). • Gain de temps maximal lorsque le contraire comporte beaucoup moins de cas que l'événement direct.

Le cours

Le réflexe du passage au complémentaire Lorsque l'énoncé contient les locutions « au moins un » ou « au plus n-1 », le calcul direct exige de sommer de nombreux cas. Il est infiniment plus rapide et fiable de dénombrer l'événement contraire et de le soustraire du total : Card(A) = Card(E) - Card(A) La négation de « au moins un » Le contraire logique de « obtenir au moins un élément possédant la propriété P » est : « n'obtenir AUCUN élément possédant la propriété P » Ce cas contraire est souvent unique et très simple à calculer. Les 3 étapes de la méthode 1. Calculer le nombre total de configurations sans restriction N_total. 2. Calculer le nombre de configurations de l'événement contraire N_A. 3. Effectuer la soustraction : N_A = N_total - N_A. Gain de temps stratégique Pour 10 tirages, « au moins un succès » exigerait d'additionner les cas k = 1, 2, 3, , 10 (10 calculs). Le passage au complémentaire ne demande qu'UN SEUL calcul (k = 0).

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement