Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Formule du crible : Card(A B) = Card(A) + Card(B) - Card(A B). • Si A B = (disjoints) : Card(A B) = Card(A) + Card(B). • Complémentaire : Card(A) = Card(E) - Card(A). • Partition : décomposition de E en parties disjointes deux à deux dont la réunion est E.

Le cours

Fondamentaux de Première : Formule du crible de Poincaré Pour deux sous-ensembles finis A et B d'un ensemble univers E : Card(A B) = Card(A) + Card(B) - Card(A B) On soustrait l'intersection car les éléments communs ont été comptabilisés deux fois. Ensembles disjoints (principe additif) Deux ensembles A et B sont dits disjoints si A B = . Dans ce cas, Card(A B) = 0 et : Card(A B) = Card(A) + Card(B) Ce principe additif est la clé des dénombrements par partition en cas incompatibles. Complémentaire d'une partie Si A E, son complémentaire dans E est noté A ou E A. Comme A et A forment une partition de E : Card(A) = Card(E) - Card(A) Diagrammes de Venn Représenter les ensembles par des ellipses permet de visualiser immédiatement les 3 zones disjointes : A B, A B et B A, facilitant le calcul des cardinaux sans erreur.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement