Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Arrangement : liste ordonnée de k éléments distincts parmi n. • Formule : A_n^k = n!/(n-k)! = n(n-1)(n-k+1) (k facteurs). • Modèle : tirages successifs SANS remise où l'ordre compte (podiums, bureaux). • Cas limite : A_n^n = n! et A_n^1 = n.

Le cours

Définition d'un arrangement de k éléments parmi n Soit E un ensemble à n éléments et k un entier (0 k n). Un arrangement de k éléments de E est un k-uplet d'éléments distincts deux à deux de E (l'ordre compte, sans répétition). Formule du nombre d'arrangements A_n^k Le nombre d'arrangements de k éléments parmi n est : A_n^k = n (n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)! Il s'agit du produit de k entiers consécutifs décroissants à partir de n. Modèle de tirage équivalent Correspond aux tirages successifs SANS remise de k objets parmi n : • Le podium d'une course (1er, 2e, 3e). • L'attribution de fonctions différenciées (Président, Secrétaire, Trésorier). Cas particuliers remarquables • A_n^1 = n • A_n^n = n! (une permutation est un arrangement de tous les éléments) • A_n^0 = 1 (la liste vide) • Si k > n, A_n^k = 0.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement