Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Les 4 formules reines : n^k, n!, A_n^k, nk. • Binôme de Newton : (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k. • Formule de Pascal : nk = n-1k-1 + n-1k. • Méthode du complémentaire pour « au moins un » : Total - Aucun.

Le cours

Bilan de synthèse : Combinatoire et dénombrement en Terminale Ce bilan récapitule l'intégralité des outils combinatoires au programme de Terminale : principes additif et multiplicatif, k-uplets, factorielles, arrangements, combinaisons, triangle de Pascal et binôme de Newton. Formulaire synthétique • k-uplets (ordre OUI, remise OUI) : n^k • Permutations (tout ordonner, remise NON) : n! • Arrangements (ordre OUI, remise NON) : A_n^k = n!/(n-k)! • Combinaisons (ordre NON, remise NON) : nk = n!/k!(n-k)! • Parties d'un ensemble : Card(P(E)) = 2^n Identités combinatoires majeures • Symétrie : nk = nn-k • Triangle de Pascal : nk = n-1k-1 + n-1k • Binôme de Newton : (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k • Somme totale : _k=0^n nk = 2^n Stratégies d'attaque pour le contrôle 1. Identifier l'univers et la nature des tirages (ordre ? remise ?). 2. Si l'énoncé contient « au moins un » : passer systématiquement par le complémentaire. 3. Traiter les contraintes spécifiques en premier (blocs, positions fixes). 4. Vérifier la cohérence de l'ordre de grandeur du résultat final.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement