Construction et lecture du triangle de Pascal

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Ligne n : contient n+1 valeurs de n0 à nn. • Bords : n0 = nn = 1. • Intérieur : obtenu par addition des deux cases du dessus (relation de Pascal). • Somme de la ligne n : _k=0^n nk = 2^n. • Chaque ligne est symétrique (palindrome).

Le cours

Le triangle arithmétique de Pascal Le triangle de Pascal est une disposition triangulaire des coefficients binomiaux nk, où n désigne le numéro de la ligne (n 0) et k le numéro de la colonne (0 k n). Règles de construction 1. Chaque ligne commence et se termine par 1 (n0 = nn = 1). 2. Tout nombre intérieur est la somme des deux nombres situés juste au-dessus (à gauche et à droite). Les 6 premières lignes (n = 0 à 5) n=0 : 1 n=1 : 1 1 n=2 : 1 2 1 n=3 : 1 3 3 1 n=4 : 1 4 6 4 1 n=5 : 1 5 10 10 5 1 Propriétés visuelles remarquables • Somme de la ligne n : 1 + 1 = 2, 1+2+1 = 4, 1+3+3+1 = 8, ..., la somme de la ligne n vaut toujours 2^n. • Deuxième diagonale : 1, 2, 3, 4, 5, donne les entiers naturels (n1 = n). • Troisième diagonale : 1, 3, 6, 10, 15, donne les nombres triangulaires (n2).

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement