Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Combinaison de k parmi n : partie à k éléments (l'ordre n'importe pas, pas de répétition). • Notation : nk (« k parmi n »). • Relation : nk = A_n^k/k!. • Modèle physique : tirage SIMULTANÉ d'une poignée d'objets.

Le cours

Définition d'une combinaison de k éléments parmi n Soit E un ensemble à n éléments. Une combinaison de k éléments de E (0 k n) est un sous-ensemble (ou partie) à k éléments de E. Contrairement aux arrangements, l'ordre des éléments ne compte pas : \a, b\ = \b, a\. Lien fondamental avec les arrangements Chaque combinaison de k éléments peut être ordonnée de k! manières différentes pour former des arrangements distincts : A_n^k = k! nk nk = A_n^k/k! Modèle de tirage équivalent Les combinaisons modélisent exactement les tirages simultanés (ou tirages successifs sans remise où l'on oublie l'ordre d'apparition) : • Tirage d'une main de cartes au poker. • Sélection d'un groupe d'élèves pour un projet. • Grille de Loto. Question clé à se poser « Si j'échange l'ordre de deux éléments dans mon choix, est-ce que cela change le résultat final ? » • OUI Arrangement A_n^k ou k-uplet n^k. • NON Combinaison nk.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement