Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Formule avec factorielles : nk = n!/k!(n-k)!. • Formule produit : nk = n(n-1)(n-k+1)/k!. • Valeurs remarquables : n0 = 1, n1 = n, n2 = n(n-1)/2, nn = 1. • nk est toujours un entier naturel.

Le cours

Formule exacte des coefficients binomiaux Pour tous entiers naturels n et k vérifiant 0 k n : nk = n!/k!(n-k)! Le coefficient binomial nk est toujours un entier naturel. Valeurs remarquables indispensables • n0 = 1 (l'ensemble vide) • n1 = n (les singletons) • n2 = n(n-1)/2 (les paires) • nn-1 = n • nn = 1 (l'ensemble plein) Méthode de calcul rapide sans calculatrice Écrire au numérateur le produit de k entiers consécutifs décroissants à partir de n, et au dénominateur le produit de 1 à k : 103 = 10 9 8/3 2 1 = 720/6 = 120 Convention pour k > n Si k > n ou k < 0, il est impossible de choisir k éléments distincts parmi n : par convention nk = 0.

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement