Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Les deux questions clés : L'ordre compte-t-il ? La remise est-elle autorisée ? • Ordre OUI, Remise OUI n^k. • Ordre OUI, Remise NON A_n^k (n! si k=n). • Ordre NON, Remise NON nk. • Partition : additionner (+) les cas disjoints. Étapes successives : multiplier ().

Le cours

L'arbre de décision méthodologique Avant tout calcul de dénombrement, pose systématiquement deux questions fondamentales dans cet ordre : Question 1 : L'ordre des éléments compte-t-il ? Question 2 : Y a-t-il répétition (remise) des éléments ? L'ORDRE COMPTE • AVEC remise k-uplets : n^k (codes PIN, mots de passe, lancers successifs de dés). • SANS remise : - Si k = n Permutations : n! (files d'attente, anagrammes sans doublon). - Si k Arrangements : A_n^k = n!/(n-k)! (podiums, bureaux ordonnés). L'ORDRE NE COMPTE PAS • SANS remise Combinaisons : nk = n!/k!(n-k)! (tirages simultanés, poignées de mains, mains de cartes, comités sans hiérarchie). • Toutes les parties d'un ensemble à n éléments, de toutes tailles : 2^n. Tableau récapitulatif des 4 formules reines • Ordre + Remise : n^k • Ordre + Sans remise : A_n^k (ou n! si k=n) • Sans ordre + Sans remise : nk • Toutes les parties (toutes tailles) : 2^n

Dans ce chapitre

• Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
• Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
• Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
• Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
• Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
• k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
• Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
• Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
• Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
• Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
• Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
• Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
• Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
• Construction et lecture du triangle de Pascal
• Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
• Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
• Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
• Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
• Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
• Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
• Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement