Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Principe additif : si E = E_1 E_2 E_p avec les E_i deux à deux disjoints, Card(E) = Card(E_i). • Démarche type : isoler les différents cas possibles par une variable entière (ex: nombre d'as = 0, 1 ou 2). • Vérifier qu'aucune situation n'est comptée dans deux catégories différentes.
Le cours
La disjonction de cas (principe additif) Face à un problème complexe comportant des contraintes hétérogènes, la méthode reine consiste à partitionner l'ensemble des configurations en plusieurs cas disjoints et exhaustifs : N = N_1 + N_2 + + N_p Conditions d'une partition valide 1. Disjoints : deux cas ne peuvent pas se produire en même temps (aucun doublon). 2. Exhaustifs : toute configuration autorisée entre dans l'un des cas (aucun oubli). Exemple classique : « Au plus k éléments » Choisir « au plus 2 as » dans une main de 5 cartes se décompose en 3 cas disjoints : • Cas 0 : exactement 0 as. • Cas 1 : exactement 1 as. • Cas 2 : exactement 2 as. Total = Cas 0 + Cas 1 + Cas 2. Règle de combinaison avec le produit À l'intérieur de chaque cas, on calcule le nombre d'issues par le principe multiplicatif (), puis on additionne (+) les résultats des différents cas.
Dans ce chapitre
- Arbres de choix, dénombrement intuitif et cardinal d'ensembles de Première
- Réunion, intersection et formule du crible Card(A B) de Première
- Produit cartésien d'ensembles finis et cardinal Card(A B) = n p
- Ensembles disjoints, partitions d'un univers et complémentaire de Première
- Principe multiplicatif pour des choix successifs indépendants
- k-uplets d'un ensemble à n éléments et formule n^k
- Nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini et cardinal 2^n
- Permutations d'un ensemble fini à n éléments et factorielle n!
- Dénombrement des anagrammes et permutations d'éléments avec répétition
- Arrangements et tirages ordonnés sans remise A_n^k = n!/(n-k)!
- Combinaisons et tirages non ordonnés sans remise
- Formule du coefficient binomial nk = n!/k!(n-k)!
- Propriétés de symétrie des coefficients binomiaux nk = nn-k
- Relation de récurrence de Pascal nk = n-1k-1 + n-1k
- Construction et lecture du triangle de Pascal
- Formule du binôme de Newton (a+b)^n = _k=0^n nk a^k b^n-k
- Application du binôme au calcul de sommes combinatoires usuelles
- Stratégies de dénombrement par partition en cas disjoints (principe additif)
- Stratégies de dénombrement par passage au complémentaire (événement 'au moins un')
- Dénombrement avec contraintes : fixations d'éléments et ordres partiels
- Arbre de décision et méthodologie pour choisir le modèle de dénombrement adéquat
- Bilan : Synthèse et méthode sur Combinatoire et dénombrement