Définition géométrique du produit scalaire

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Si u et v sont non nuls : u v = \|u\| \|v\| , où est l'angle formé par les deux vecteurs. • Si l'un des deux vecteurs est nul : u v = 0. • Le résultat est un nombre réel, pas un vecteur. • Carré scalaire : u u = \|u\|^2.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient u et v deux vecteurs du plan. Le **produit scalaire** de u et v, noté u v, est le nombre réel défini par : - Si u = 0 ou v = 0 : u v = 0. - Si u 0 et v 0 : u v = \|u\| \|v\| () où = (u, v) est l'angle géométrique formé par les deux vecteurs. Le résultat d'un produit scalaire est un **nombre réel** (scalaire), et non un vecteur. ### 2. Représentation visuelle et schéma clé u⃗ (ou OA⃗) v⃗ (ou OB⃗) O H (Projeté) θ u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ) = OA × OH ### 3. Méthode : calculer avec la définition 1. Placer les deux vecteurs à la même origine pour lire l'angle , compris entre 0 et . 2. Relever les normes et la valeur exacte du cosinus : 0 = 1, /6 = 32, /4 = 22, /3 = 1/2, /2 = 0, 2/3 = -1/2, = -1. 3. Multiplier, puis contrôler le signe : positif si l'angle est aigu, nul s'il est droit, négatif s'il est obtus. Mini-exemple : dans un triangle équilatéral ABC de côté 2, AB AC = 2 2 /3 = 2, mais AB BC = -2 : placés à la même origine, AB et BC forment un angle de 2/3, et non de /3. ### 4. Premières conséquences - Le produit scalaire est symétrique : u v = v u. - Carré scalaire : u u = \|u\|^2, car l'angle de u avec lui-même est nul. - Comme -1 1, on a toujours |u v| \|u\| \|v\|.

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