Propriétés algébriques du produit scalaire

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Symétrie : u v = v u. • Bilinéarité : u (v + w) = u v + u w et (ku) v = k(u v). • \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + 2\,u v + \|v\|^2 et \|u - v\|^2 = \|u\|^2 - 2\,u v + \|v\|^2. • (u + v) (u - v) = \|u\|^2 - \|v\|^2.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k : 1. **Symétrie** : u v = v u 2. **Bilinéarité** (distributivité) : - u (v + w) = u v + u w - (k u) v = k (u v) 3. **Identités remarquables scalaires** : - (u + v)^2 = \|u\|^2 + 2(u v) + \|v\|^2 - (u - v)^2 = \|u\|^2 - 2(u v) + \|v\|^2 - (u + v) (u - v) = \|u\|^2 - \|v\|^2 ### 2. Méthode : développer un produit scalaire 1. Écrire chaque vecteur à l'aide de vecteurs dont on connaît les normes et le produit scalaire. 2. Développer comme un produit de sommes, en sortant les nombres réels ; l'ordre des facteurs n'importe pas (symétrie). 3. Remplacer chaque u u par \|u\|^2, puis les valeurs numériques. Mini-exemple : avec \|u\| = 2, \|v\| = 1 et u v = -1, (2u + 3v) (u - v) = 2\|u\|^2 - 2\,u v + 3\,v u - 3\|v\|^2 = 2\|u\|^2 + u v - 3\|v\|^2 = 8 - 1 - 3 = 4 ### 3. Ce qui ne se fait pas - \|u + v\|^2 \|u\|^2 + \|v\|^2 en général : le double produit 2\,u v ne disparaît que si u v. - On ne simplifie pas par un vecteur : u v = u w signifie seulement u (v - w) = 0, pas v = w.

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