Théorème d'Al-Kashi

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• a^2 = b^2 + c^2 - 2bcA, avec a = BC, b = AC et c = AB. • Pour un angle connaissant les trois côtés : A = b^2 + c^2 - a^2/2bc. • Si A = 90^, on retrouve le théorème de Pythagore.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Dans un triangle quelconque ABC, en notant a = BC, b = AC, c = AB et A, B, C les angles correspondants : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc (A) b^2 = a^2 + c^2 - 2ac (B) c^2 = a^2 + b^2 - 2ab (C) Ce théorème (aussi appelé **loi des cosinus**) généralise le théorème de Pythagore à n'importe quel triangle (si A = 90^, (90^) = 0 et on retrouve a^2 = b^2 + c^2). ### 2. Méthode : choisir la bonne forme - **Deux côtés et l'angle compris entre eux connus** → on calcule le troisième côté : a^2 = b^2 + c^2 - 2bcA. - **Trois côtés connus** → on calcule un angle : A = b^2 + c^2 - a^2/2bc, puis on utilise la touche ^-1 de la calculatrice en mode degrés. - L'angle qui intervient est toujours celui **opposé** au côté isolé dans le membre de gauche. ### 3. Démonstration et lecture du signe BC = AC - AB, donc BC^2 = AC^2 - 2\,AB AC + AB^2, et AB AC = AB AC A. Comme A a le signe de b^2 + c^2 - a^2 : l'angle A est aigu si a^2 b^2 + c^2. Mini-exemple : pour a = 6, b = 4 et c = 3, a^2 = 36 > 25 = b^2 + c^2 : l'angle A est obtus, et A = 16 + 9 - 36/24 = -11/24.

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