Projection orthogonale

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) : AB AC = AB AH. • AB AC = AB AH si AB et AH sont de même sens, -AB AH sinon. • Si H = A, le produit scalaire est nul.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient trois points A, B, C avec A B. Soit H le **projeté orthogonal** du point C sur la droite (AB). Alors le produit scalaire des vecteurs AB et AC est donné par : AB AC = AB AH - Si les vecteurs AB et AH ont le **même sens** : AB AC = AB AH - Si les vecteurs AB et AH ont des **sens opposés** : AB AC = - AB AH ### 2. Méthode : calculer par projection 1. Garder le vecteur « porteur » AB et projeter orthogonalement l'extrémité C de l'autre vecteur sur la droite (AB) : on obtient H. 2. Situer H par rapport à A : du côté de B (signe +) ou du côté opposé (signe -). 3. Calculer AB AH et affecter le signe. Cas particuliers : si H = A, c'est-à-dire si (AC) (AB), le produit scalaire est nul ; si C est sur (AB), alors H = C. On peut aussi projeter B sur (AC) : on obtient le même résultat. Mini-exemple : AB = 5 et H sur [AB] avec AH = 2 donnent AB AC = 5 2 = 10 ; si H est à 2 de A mais du côté opposé à B, on obtient -10. ### 3. Pourquoi c'est vrai AC = AH + HC, et HC est orthogonal à AB, donc AB HC = 0 : il reste AB AC = AB AH, produit de deux vecteurs colinéaires.

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