Formule avec les normes

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• u v = 1/2(\|u + v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2). • u v = 1/2(\|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^2). • Avec trois points : AB AC = 1/2(AB^2 + AC^2 - BC^2). • Carré scalaire : u u = \|u\|^2.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Le produit scalaire peut être calculé uniquement à l'aide des longueurs (normes), sans connaître les angles ni les coordonnées : 1. **Formule de polarisation (somme)** : u v = 1/2 ( \|u + v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2 ) 2. **Formule de polarisation (différence)** : u v = 1/2 ( \|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u - v\|^2 ) 3. **Carré scalaire** : u u = u^2 = \|u\|^2. ### 2. D'où viennent ces formules En développant comme une identité remarquable, \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + 2\,u v + \|v\|^2 ; il suffit d'isoler u v. Avec u - v, le double produit change de signe. ### 3. Version avec trois points et méthode Avec u = AB et v = AC, on a u - v = CB, d'où : AB AC = 1/2(AB^2 + AC^2 - BC^2) 1. Repérer les deux vecteurs de même origine A. 2. Repérer le troisième côté [BC], qui relie leurs extrémités. 3. Appliquer la formule, puis contrôler le signe : il est positif exactement quand BC^2 < AB^2 + AC^2, c'est-à-dire quand l'angle BAC est aigu. Mini-exemple : pour un triangle de côtés AB = 4, AC = 6 et BC = 5, AB AC = 1/2(16 + 36 - 25) = 13,5.

Dans ce chapitre