Expression analytique dans un repère orthonormé

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Repère orthonormé, u(x ; y) et v(x' ; y') : u v = xx' + yy'. • Norme : \|u\| = u u = x^2 + y^2. • Orthogonalité : u v xx' + yy' = 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Dans un **repère orthonormé** (O; i, j), soient upmatrix x \\ y pmatrix et vpmatrix x' \\ y' pmatrix deux vecteurs. L'**expression analytique du produit scalaire** est : u v = x x' + y y' **Conséquences** : - Norme d'un vecteur : \|u\| = u u = x^2 + y^2 - Condition d'orthogonalité analytique : u v x x' + y y' = 0 ### 2. Méthode : calculer en coordonnées 1. Vérifier que le repère est orthonormé. 2. Calculer les coordonnées des vecteurs (extrémité moins origine) : AB(x_B - x_A ; y_B - y_A). 3. Multiplier abscisse par abscisse, ordonnée par ordonnée, puis additionner. Mini-exemple : avec AB(3 ; 4) et AC(5 ; 0), AB AC = 15 + 0 = 15 ; comme AB = AC = 5, on en déduit BAC = 15/25 = 0,6. ### 3. Pourquoi la formule est vraie On écrit u = xi + yj et v = x'i + y'j, puis on développe. Dans un repère orthonormé, i i = j j = 1 (vecteurs de norme 1) et i j = 0 (vecteurs orthogonaux) : il ne reste que xx' + yy'. C'est exactement là que sert l'hypothèse « orthonormé ».

Dans ce chapitre