Équations cartésiennes et réduites de droites de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Équation cartésienne** : ax + by + c = 0. • **Vecteur directeur associé** : u(-b, a). • **Passage à l'équation réduite** (b 0) : y = -a/bx - c/b = mx + p. • **Droites parallèles** : deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (ab' - a'b = 0).

Le cours

1. Équation cartésienne et vecteur directeur Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0), et le vecteur u(-b ; a) en est un vecteur directeur. ax + by + c = 0 u(-b ; a) Un point M(x_0 ; y_0) appartient à la droite si et seulement si ax_0 + by_0 + c = 0. Une droite a une infinité d'équations cartésiennes, toutes proportionnelles : 2x - y + 3 = 0 et -4x + 2y - 6 = 0 décrivent la même droite. 2. Équation réduite Si b 0, on isole y : y = mx + p avec m = -a/b (coefficient directeur) et p = -c/b (ordonnée à l'origine) ; le vecteur (1 ; m) dirige la droite. Si b = 0, la droite est parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation x = k, et n'a pas de coefficient directeur. 3. Méthode : droite passant par un point, de vecteur directeur donné Pour la droite passant par A et dirigée par u( ; ) : M(x ; y) lui appartient si et seulement si AM et u sont colinéaires, c'est-à-dire (x - x_A) - (y - y_A) = 0. Mini-exemple : avec A(1 ; 2) et u(2 ; 5), on obtient 5(x - 1) - 2(y - 2) = 0, soit 5x - 2y - 1 = 0 ; contrôle avec A : 5 - 4 - 1 = 0. 4. Vers la Première Avec le produit scalaire, le couple (a ; b) des coefficients définira un vecteur normal n(a ; b), orthogonal à la droite.

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