Vecteur normal à une droite

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Un vecteur normal à d est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de d. • Si A est un point de d et n un vecteur normal : M d AM n = 0. • Si u( ; ) dirige d, alors n(- ; ) est normal à d.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit d une droite du plan. Un **vecteur normal** à une droite d est un vecteur non nul n dont la direction est perpendiculaire à la droite d. - Si u est un vecteur directeur de d, alors n u = 0. - Une droite admet une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux. - Une droite d passant par un point A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M du plan vérifiant : AM n = 0 ### 2. Méthode : passer du vecteur directeur au vecteur normal - Si u( ; ) dirige d, alors n(- ; ) est normal à d, car (-) + = 0. - Pour un vecteur normal à (AB) : calculer AB( ; ), puis prendre (- ; ). - Pour tester si un point M est sur la droite passant par A de vecteur normal n : calculer AM n, qui doit être nul. Mini-exemple : avec A(1 ; 0) et B(3 ; 5), AB(2 ; 5), donc n(-5 ; 2) est normal à (AB) ; contrôle : 2 (-5) + 5 2 = 0. ### 3. À quoi sert un vecteur normal Il permet d'écrire une équation cartésienne de la droite, de tester la perpendicularité de deux droites (vecteurs normaux orthogonaux) et de trouver le projeté orthogonal d'un point : la perpendiculaire à d passant par ce point est dirigée par n.

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