Équation cartésienne d'une droite et vecteur normal

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Droite ax + by + c = 0 : n(a ; b) est normal et u(-b ; a) est directeur. • Droite passant par A de vecteur normal n(a ; b) : a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0. • Médiatrice de [AB] : droite passant par le milieu de [AB], de vecteur normal AB.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Dans un repère orthonormé : 1. Toute droite d admet une **équation cartésienne** de la forme : ax + by + c = 0 ((a, b) (0, 0)) 2. Le vecteur npmatrix a \\ b pmatrix est un **vecteur normal** à la droite d. 3. Réciproquement, l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant ax + by + c = 0 est la droite de vecteur normal npmatrix a \\ b pmatrix et de vecteur directeur upmatrix -b \\ a pmatrix. ### 2. Méthode : équation d'une droite de vecteur normal donné 1. Écrire ax + by + c = 0, où (a ; b) sont les coordonnées du vecteur normal n. 2. Trouver c en remplaçant x et y par les coordonnées d'un point connu de la droite. 3. Variante directe : M(x ; y) d AM n = 0 a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0. Mini-exemple : la droite passant par A(1 ; 2) et de vecteur normal n(2 ; 5) a pour équation 2(x - 1) + 5(y - 2) = 0, soit 2x + 5y - 12 = 0. ### 3. Lien avec le produit scalaire Si A(x_A ; y_A) est sur d, AM n = a(x - x_A) + b(y - y_A) ; en posant c = -ax_A - by_A, on obtient ax + by + c = 0. Une même droite a une infinité d'équations cartésiennes, proportionnelles entre elles, comme ses vecteurs normaux.

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