Calculs d'angles et de distances

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Angle de deux vecteurs non nuls : = u v\|u\| \|v\|. • En repère orthonormé : = xx' + yy'x^2 + y^2\,x'^2 + y'^2. • Distance d'un point A à une droite d : longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur d.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Le produit scalaire est un outil puissant pour relier coordonnées cartésiennes et grandeurs géométriques (angles et distances) : 1. **Calcul d'un angle géométrique** : () = u v\|u\| \|v\| = x x' + y y'x^2 + y^2 x'^2 + y'^2 2. **Calcul de distance / norme** : AB = \|AB\| = AB AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. ### 2. Méthode : calculer un angle en repère orthonormé 1. Calculer les coordonnées des deux vecteurs de même origine (pour BAC : AB et AC). 2. Calculer le produit scalaire xx' + yy', puis les deux normes. 3. Faire le quotient, vérifier qu'il est compris entre -1 et 1, puis utiliser la touche ^-1 de la calculatrice en mode degrés. ### 3. Distance d'un point à une droite La distance d'un point A à une droite d est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur d : c'est la plus courte distance entre A et un point de d. Pour trouver H, on écrit l'équation de la perpendiculaire à d passant par A, puis on résout le système formé avec l'équation de d. Mini-exemple : pour A(0 ; 0) et d : x + y - 2 = 0, la perpendiculaire à d passant par A a pour équation x - y = 0 ; elle coupe d en H(1 ; 1), donc la distance vaut AH = 2.

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