Théorème de la médiane

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• I milieu de [AB] : MA MB = MI^2 - AB^2/4. • Théorème de la médiane : MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + AB^2/2. • MA MB = 0 M appartient au cercle de diamètre [AB].

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient A et B deux points distincts et I le **milieu du segment [AB]**. Pour tout point M du plan : 1. **Formule du produit scalaire** : MA MB = MI^2 - AB^2/4 = MI^2 - IA^2 2. **Formule des longueurs (théorème de la médiane)** : MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + AB^2/2 Cette formule permet de calculer la longueur d'une médiane dans un triangle ou de déterminer des ensembles de points. ### 2. Démonstration Avec IB = -IA : MA = MI + IA et MB = MI - IA. - Produit : MA MB = MI^2 - IA^2. - Somme des carrés : MA^2 + MB^2 = (MI^2 + 2\,MI IA + IA^2) + (MI^2 - 2\,MI IA + IA^2) = 2MI^2 + 2IA^2, et 2IA^2 = AB^2/2. ### 3. Méthode : tout ramener au milieu 1. Repérer un segment [AB] dont on utilise le milieu I (côté d'un triangle, diamètre). 2. Choisir la forme : produit MA MB ou somme MA^2 + MB^2. 3. Obtenir une condition portant sur MI seulement : MI = r avec r > 0 décrit le cercle de centre I et de rayon r ; si l'on aboutit à MI^2 < 0, l'ensemble est vide. Mini-exemple : avec AB = 4, MA MB = 5 MI^2 - 4 = 5 MI = 3 : c'est le cercle de centre I et de rayon 3.

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