Équation cartésienne d'un cercle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Cercle de centre (x_0 ; y_0) et de rayon R : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2. • Une équation x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 se ramène, en complétant les carrés, à (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = k. • Si k > 0 : cercle de rayon k ; si k = 0 : un seul point ; si k < 0 : ensemble vide.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Dans un repère orthonormé : 1. Le **cercle C de centre (x_0 ; y_0) et de rayon R > 0** est l'ensemble des points M(x ; y) tels que M^2 = R^2. Son équation cartésienne est : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 2. **Forme développée** : x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y + (x_0^2 + y_0^2 - R^2) = 0. Pour reconnaître un cercle à partir d'une équation développée x^2 + y^2 + ax + by + c = 0, on met sous forme canonique les termes en x et en y. ### 2. Méthode : reconnaître un cercle 1. Regrouper les termes en x et les termes en y. 2. Compléter les carrés : x^2 - 2 x = (x - )^2 - ^2. 3. Se ramener à (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = k et conclure : si k > 0, cercle de centre (x_0 ; y_0) et de rayon k ; si k = 0, le seul point ; si k R^2.

Dans ce chapitre

• Coordonnées de vecteurs, norme et colinéarité de Seconde
• Distance entre deux points et théorème de Pythagore en repère de Seconde
• Équations cartésiennes et réduites de droites de Seconde
• Définition géométrique du produit scalaire
• Projection orthogonale
• Formule avec les normes
• Orthogonalité de deux vecteurs
• Expression analytique dans un repère orthonormé
• Propriétés algébriques du produit scalaire
• Théorème d'Al-Kashi
• Théorème de la médiane
• Calculs d'angles et de distances
• Vecteur normal à une droite
• Équation cartésienne d'une droite et vecteur normal
• Droites perpendiculaires
• Équation cartésienne d'un cercle
• Cercle défini par un diamètre
• Bilan : Synthèse et méthode sur Produit scalaire et géométrie repérée