Droites perpendiculaires

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• d_1 d_2 n_1 n_2 = 0 a_1a_2 + b_1b_2 = 0. • Toute perpendiculaire à ax + by + c = 0 a une équation de la forme bx - ay + c' = 0. • Équations réduites (droites non parallèles à l'axe des ordonnées) : d_1 d_2 m_1 m_2 = -1.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient d_1 et d_2 deux droites d'équations cartésiennes respectives a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 et a_2 x + b_2 y + c_2 = 0. Leurs vecteurs normaux respectifs sont n_1pmatrix a_1 \\ b_1 pmatrix et n_2pmatrix a_2 \\ b_2 pmatrix. **Critère de perpendicularité** : d_1 d_2 n_1 n_2 = 0 a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0 Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (ou leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux). ### 2. Méthode : tester ou construire une perpendiculaire - **Tester** : lire n_1(a_1 ; b_1) et n_2(a_2 ; b_2), puis calculer a_1a_2 + b_1b_2. - **Construire** la perpendiculaire à d : ax + by + c = 0 passant par A : le vecteur directeur u(-b ; a) de d est normal à la perpendiculaire, d'où l'équation -b(x - x_A) + a(y - y_A) = 0. - **Hauteur** d'un triangle ABC issue de A : droite passant par A de vecteur normal BC. Mini-exemple : d_1 : 3x - y + 2 = 0 et d_2 : x + 3y - 7 = 0 vérifient 3 1 + (-1) 3 = 0, donc d_1 d_2. ### 3. Avec les équations réduites Dans un repère orthonormé, deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées, y = m_1x + p_1 et y = m_2x + p_2, sont dirigées par (1 ; m_1) et (1 ; m_2) ; elles sont perpendiculaires si et seulement si 1 + m_1m_2 = 0, c'est-à-dire m_1 m_2 = -1. Une droite d'équation x = k est perpendiculaire aux droites d'équation y = p.

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