Distance entre deux points et théorème de Pythagore en repère de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Distance dans un repère orthonormé : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. • Norme d'un vecteur u(x ; y) : \|u\| = x^2 + y^2, et AB = \|AB\|. • Triangle rectangle : comparer le plus grand des trois carrés à la somme des deux autres. • Condition impérative : le repère doit être orthonormé.

Le cours

1. Distance entre deux points Dans un repère orthonormé (O; i, j), on considère A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B). Le point C(x_B ; y_A) forme avec A et B un triangle rectangle en C, dont les côtés de l'angle droit mesurent |x_B - x_A| et |y_B - y_A|. Le théorème de Pythagore donne AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2, d'où : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 De même, la norme d'un vecteur u(x ; y) est \|u\| = x^2 + y^2, et la distance AB est la norme du vecteur AB. 2. Méthode : prouver qu'un triangle est rectangle 1. Calculer les carrés des trois longueurs (inutile de prendre les racines). 2. Repérer le plus grand carré : c'est le seul candidat pour l'hypoténuse. 3. S'il est égal à la somme des deux autres, le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore) ; sinon, il ne l'est pas. Mini-exemple : E(1 ; 0), F(3 ; 1), G(1 ; 5) donnent EF^2 = 4 + 1 = 5, FG^2 = 4 + 16 = 20 et EG^2 = 0 + 25 = 25 = 5 + 20 : le triangle EFG est rectangle en F. 3. Attention Ces formules supposent un repère orthonormé : axes perpendiculaires et même unité sur les deux axes. En Première, elles serviront de point de départ au produit scalaire, dont le carré u u vaudra \|u\|^2 = x^2 + y^2.

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