Coordonnées de vecteurs, norme et colinéarité de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Coordonnées du vecteur : toujours « extrémité moins origine » : AB(x_B - x_A ; y_B - y_A). • Norme dans un repère orthonormé : \|u\| = x^2 + y^2. • Critère de colinéarité : u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires xy' - x'y = 0. • Milieu de [AB] : I(x_A+x_B/2 ; y_A+y_B/2).

Le cours

Vecteurs et coordonnées dans le plan Dans un repère (O; i, j), les coordonnées d'un vecteur AB reliant A(x_A ; y_A) à B(x_B ; y_B) sont : ABpmatrix x_B - x_A \\ y_B - y_A pmatrix Dans un repère orthonormé, la norme d'un vecteur u(x ; y) et la distance AB sont données par : \|u\| = x^2 + y^2 et AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 Colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs non nuls u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires (ont la même direction) si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui équivaut au critère : x y' - x' y = 0 Milieu, alignement et parallélisme Le milieu I de [AB] a pour coordonnées I(x_A + x_B/2 ; y_A + y_B/2). Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires ; les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires. Mini-exemple : pour u(2 ; -3) et v(-4 ; 6), on a 2 6 - (-4) (-3) = 12 - 12 = 0 : les vecteurs sont colinéaires, et en effet v = -2u.

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