Cercle défini par un diamètre

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA MB = 0. • Équation : (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0. • Centre : le milieu I de [AB] ; rayon : AB/2.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points distincts du plan. Le **cercle de diamètre [AB]** est l'ensemble des points M(x ; y) tels que le triangle AMB est rectangle en M, ou que M=A ou M=B. Caractérisation par le produit scalaire : MA MB = 0 En coordonnées analytiques : (x_A - x)(x_B - x) + (y_A - y)(y_B - y) = 0 (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0 ### 2. Pourquoi cette caractérisation Avec I milieu de [AB], on sait que MA MB = MI^2 - IA^2. Donc MA MB = 0 MI = IA = AB/2 : c'est bien le cercle de centre I et de rayon AB/2. ### 3. Méthode : deux chemins vers l'équation 1. **Produit scalaire** : écrire (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0, puis développer. 2. **Centre et rayon** : centre I milieu de [AB], rayon AB/2, d'où (x - x_I)^2 + (y - y_I)^2 = AB^2/4. Les deux équations développées sont identiques ; la première évite tout calcul de racine. Mini-exemple : pour A(0 ; 0) et B(4 ; 0), x(x - 4) + y^2 = 0 (x - 2)^2 + y^2 = 4 : centre (2 ; 0) et rayon 2.

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