Orthogonalité de deux vecteurs

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• u v u v = 0 ; le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. • En repère orthonormé : u(x ; y) v(x' ; y') xx' + yy' = 0. • Pythagore vectoriel : \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 u v.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Deux vecteurs non nuls u et v sont dits **orthogonaux** (noté u v) si leurs directions sont perpendiculaires (l'angle formé vaut /2). **Critère fondamental d'orthogonalité** : u v u v = 0 Par convention, le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les vecteurs du plan. Ce critère permet de démontrer facilement qu'un triangle est rectangle ou que deux droites sont perpendiculaires. ### 2. Méthode : prouver une orthogonalité Trois stratégies selon les données : 1. **En repère orthonormé** : calculer xx' + yy' et vérifier qu'il est nul. 2. **Sans repère** : décomposer les vecteurs avec la relation de Chasles en vecteurs dont on connaît les produits scalaires (côtés perpendiculaires, vecteurs colinéaires), puis développer. 3. **Avec des longueurs** : \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 u v = 0 ; c'est le théorème de Pythagore écrit avec des vecteurs. Mini-exemple : ABCD est un carré de côté 4, I le milieu de [AB] et J celui de [BC]. Avec DI = DA + AI et AJ = AB + BJ, et comme DA AB = 0 et AI BJ = 0 : DI AJ = DA BJ + AI AB = -4 2 + 2 4 = 0 donc (DI) (AJ) (DA et BJ sont colinéaires de sens contraires).

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