Bilan : Synthèse et méthode sur Produit scalaire et géométrie repérée

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Produit scalaire nul : u v = 0 u et v sont orthogonaux (ou l'un d'eux est nul). • Vecteur normal n(a ; b) : orthogonal à la droite d'équation ax + by + c = 0. • Théorème d'Al-Kashi dans un triangle ABC quelconque : BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC (BAC)

Le cours

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel. Ce bilan rassemble ses quatre expressions et ses principales applications : orthogonalité, calculs de longueurs et d'angles, géométrie repérée. Les quatre expressions du produit scalaire u v 1. Formule trigonométrique (avec l'angle) : u v = \|u\| \|v\| (u, v) 2. Formule analytique (dans un repère orthonormé) : u v = x x' + y y' 3. Formule par projection orthogonale : AB AC = AB AH (où H est le projeté orthogonal de C sur (AB) ; positif si AB et AH ont même sens, négatif sinon). 4. Formule des normes (Al-Kashi / parallélogramme) : u v = 1/2 ( \|u + v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2 ) Orthogonalité et équation cartésienne de droite Critère d'orthogonalité fondamental : u v u v = 0. Vecteur normal à une droite : Une droite (d) d'équation cartésienne ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal n(a ; b) et pour vecteur directeur u(-b ; a). Équation de cercle : Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant MA MB = 0. Méthode : quelle formule choisir ? Normes et angle connus → formule avec le cosinus. Coordonnées dans un repère orthonormé → xx' + yy'. Figure avec des angles droits → projection orthogonale. Trois longueurs d'un triangle → AB AC = 1/2(AB^2 + AC^2 - BC^2), puis Al-Kashi pour l'angle. Milieu d'un segment → MA MB = MI^2 - AB^2/4 et théorème de la médiane. Distance d'un point à une droite → projeté orthogonal H du point sur la droite, puis longueur AH.

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