Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Définies sur R tout entier : D = R. • Bornées : pour tout x R, | x| 1 et | x| 1. • Courbes sinusoïdales ondulant entre les droites horizontales y = -1 et y = 1. • Déphasage : (x) = (x + /2).

Le cours

Définition fondamentale : De l'enroulement aux fonctions réelles Les fonctions cosinus et sinus sont les fonctions définies sur la droite réelle R tout entière qui à tout réel x associent respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point M(x) du cercle trigonométrique. Domaine et ensemble image • Domaine de définition : D_ = D_ = R. • Ensemble image : pour tout x R, -1 (x) 1 et -1 (x) 1. • Les fonctions sont continues sur R. Courbes représentatives • Les courbes représentatives sont appelées des sinusoïdes. • La courbe de sinus passe par l'origine (0, 0). • La courbe de cosinus coupe l'axe des ordonnées en (0, 1) et se déduit de celle de sinus par une translation horizontale de vecteur -/2i. Déphasage entre sinus et cosinus Puisque (x) = (x + /2), le cosinus est en avance de phase d'un quart de période (/2) par rapport au sinus.

Dans ce chapitre

• Cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables de Première
• Équations trigonométriques élémentaires et symétries de Première
• Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R
• Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première
• Parité : (-x) = (x) et (-x) = -(x) et conséquences graphiques
• Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]
• Formules d'addition et de duplication pour cosinus et sinus
• Dérivée de la fonction sinus : ()' =
• Dérivée de la fonction cosinus : ()' = -
• Dérivation des composées x ( x + ) et x ( x + )
• Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques
• Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1
• Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques
• Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques
• Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné
• Résolution d'inéquations trigonométriques et lecture sur le cercle
• Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions trigonométriques