Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Démarche type : Période Parité Intervalle d'étude restreint Dérivée factorisée Signe Tableau de variations. • sur [0, ] : décroissante de 1 à -1. • sur [0, ] : croît de 0 à 1 puis décroît de 1 à 0. • Tangentes horizontales dès que f'(x) = 0.

Le cours

Méthode d'étude complète d'une fonction trigonométrique L'étude d'une fonction trigonométrique suit une démarche rigoureuse en 5 étapes pour exploiter au maximum ses régularités géométriques (périodicité, parité). Les 5 étapes incontournables 1. Domaine et période T restriction à un intervalle d'amplitude T. 2. Parité restriction à l'intervalle positif I_E. 3. Calcul de la dérivée f'(x) et factorisation trigonométrique. 4. Signe de la dérivée et tableau de variations complet. 5. Tracé de la courbe par symétrie puis translation. Tableaux de variations de référence • Cosinus sur [0, ] : strictement décroissante de 1 (en 0) à -1 (en ), s'annule en /2. • Sinus sur [0, ] : croissante de 0 à 1 (en /2), puis décroissante de 1 à 0 (en ). Recherche des extremums Les extremums locaux correspondent aux zéros de la dérivée où celle-ci change de signe. Pense à calculer la valeur exacte de f en ces points critiques ainsi qu'aux bornes de l'intervalle d'étude.

Dans ce chapitre

• Cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables de Première
• Équations trigonométriques élémentaires et symétries de Première
• Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R
• Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première
• Parité : (-x) = (x) et (-x) = -(x) et conséquences graphiques
• Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]
• Formules d'addition et de duplication pour cosinus et sinus
• Dérivée de la fonction sinus : ()' =
• Dérivée de la fonction cosinus : ()' = -
• Dérivation des composées x ( x + ) et x ( x + )
• Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques
• Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1
• Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques
• Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques
• Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné
• Résolution d'inéquations trigonométriques et lecture sur le cercle
• Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions trigonométriques