Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques

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À retenir

• Signal harmonique : s(t) = A( t + ). • Relations clés : T = 2/, f = 1/T = /2. • Équation différentielle : s''(t) + ^2 s(t) = 0. • Vitesse maximale : v_ = A ; Accélération maximale : a_ = A^2.

Le cours

Oscillateurs harmoniques et signaux sinusoïdaux En physique et en sciences de l'ingénieur, tout mouvement oscillatoire non amorti (pendule aux petites oscillations, ressort, circuit LC, onde acoustique) est modélisé par une fonction harmonique de la forme : s(t) = A ( t + ) ou s(t) = A ( t + ) Paramètres physiques fondamentaux • Amplitude A > 0 : valeur maximale de l'élongation (s(t) [-A, A]). • Pulsation > 0 : en rad/s, liée à la période par = 2/T = 2 f. • Période T : durée d'un cycle en secondes (T = 2/). • Fréquence f : nombre d'oscillations par seconde en Hz (f = 1/T). • Phase à l'origine : angle en radians fixant la valeur initiale à t = 0. Équation différentielle caractéristique En calculant les dérivées première et seconde : s'(t) = -A ( t + ) s''(t) = -A^2 ( t + ) = -^2 s(t) Le signal est solution de l'équation différentielle linéaire du 2nd ordre sans second membre : s''(t) + ^2 s(t) = 0 Valeur efficace En régime sinusoïdal, la valeur efficace est donnée par S_eff = A2 0,707 A. (Par exemple, pour la tension secteur 230 V, l'amplitude maximale de crête est 2302 325 V).

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