Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Produit : (uv)' = u'v + uv'. • Quotient : (u/v)' = u'v - uv'/v^2. • Dérivée de la tangente : ()'(x) = 1 + ^2(x) = 1/^2(x) > 0. • Produit amorti e^ x( x) : factoriser systématiquement par e^ x.

Le cours

Formules produit et quotient avec et Les règles usuelles de dérivation s'appliquent aux fonctions trigonométriques : (uv)' = u'v + uv' et (u/v)' = u'v - uv'/v^2 Produit avec une fonction exponentielle Très fréquent dans l'étude des oscillations amorties : Pour f(x) = e^-x (x) : f'(x) = (-e^-x) (x) + e^-x (-(x)) = -e^-x((x) + (x)) L'exponentielle se met systématiquement en facteur. La fonction tangente : = / Dérivée du quotient sur R \/2 + k\ : ()'(x) = (x)(x) - (x)(- x)/^2(x) = ^2 x + ^2 x/^2 x D'où les deux formes équivalentes : ()'(x) = 1/^2(x) = 1 + ^2(x) Signe de la dérivée d'un produit amorti Dans f'(x) = e^-ax g(x), comme e^-ax > 0 strictement pour tout x, le signe de f'(x) dépend exclusivement du facteur trigonométrique g(x).

Dans ce chapitre