Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première

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À retenir

• Fonction paire : Pour tout x D, -x D et f(-x) = f(x). La courbe admet l'axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie. Exemple : la fonction cosinus. • Fonction impaire : Pour tout x D, -x D et f(-x) = -f(x). La courbe admet l'origine O(0, 0) comme centre de symétrie. Exemple : la fonction sinus. • Fonction périodique de période T : Pour tout x, f(x + T) = f(x). La courbe se répète par translation de vecteur Ti. • Réduction de l'intervalle : Pour une fonction 2-périodique et paire, on étudie sur [0, ], puis on complète par symétrie axiale sur [-, ], puis par translation sur R.

Le cours

Rappels de Seconde et Première : symétries et répétitions d'une courbe Avant d'étudier et sur R, on rappelle deux propriétés qui permettent de ne tracer qu'un morceau de courbe puis de compléter le reste par symétrie ou par translation : la parité (vue en Seconde) et la périodicité (vue en Première avec le cercle trigonométrique). Fonctions paires et impaires • Le domaine D doit être symétrique par rapport à 0 : si x D, alors -x D. • f est paire si f(-x) = f(x) : axe de symétrie (Oy). Exemples : x x^2, x |x|, . • f est impaire si f(-x) = -f(x) : centre de symétrie O. Exemples : x x^3, x 1/x, . • Une fonction impaire définie en 0 vérifie f(0) = 0. Fonctions périodiques • f est T-périodique (T > 0) si, pour tout x du domaine, f(x + T) = f(x). • La courbe se reproduit alors à l'identique par translation de vecteur Ti. • Comme M(x + 2) = M(x) sur le cercle trigonométrique, et sont 2-périodiques. Réduire l'intervalle d'étude Une fonction T-périodique et paire (ou impaire) s'étudie sur [0\,;\,T/2] : pour , on passe de R au segment [0\,;\,]. Mini-exemple : f(x) = x^3 - 3x vérifie f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x), donc f est impaire ; comme f(2) = 2, on en déduit sans calcul f(-2) = -2.

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