Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Cosinus et sinus sont 2-périodiques : (x+2k) = (x) et (x+2k) = (x) pour tout k Z. • Période de x ( x) : T = 2/. • Réduction méthodique : Périodicité [-, ], puis Parité [0, ].

Le cours

Périodicité et translation de la courbe Une fonction f est dite périodique de période T > 0 si pour tout réel x, x+T appartient au domaine et f(x+T) = f(x). Les fonctions cosinus et sinus sont 2-périodiques : pour tout x R, (x + 2) = (x) et (x + 2) = (x). Période des fonctions x ( x) Pour tout réel > 0, la fonction x ( x) (ou ( x)) est périodique de période fondamentale : T = 2/ Plus la pulsation est grande, plus les oscillations sont rapides et la période courte. Stratégie de réduction d'intervalle 1. Périodicité 2 : on réduit l'étude à un intervalle d'amplitude 2, classiquement [-, ]. 2. Parité (paire pour , impaire pour ) : on réduit l'intervalle à sa moitié positive [0, ]. On obtient la courbe entière par symétrie puis translations de vecteurs 2ki. Motif élémentaire et répétition La portion de courbe obtenue sur [0, ] est complétée sur [-, ] par symétrie (axiale pour , centrale pour ), constituant un motif élémentaire de largeur 2 dupliqué à l'infini.

Dans ce chapitre

• Cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables de Première
• Équations trigonométriques élémentaires et symétries de Première
• Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R
• Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première
• Parité : (-x) = (x) et (-x) = -(x) et conséquences graphiques
• Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]
• Formules d'addition et de duplication pour cosinus et sinus
• Dérivée de la fonction sinus : ()' =
• Dérivée de la fonction cosinus : ()' = -
• Dérivation des composées x ( x + ) et x ( x + )
• Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques
• Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1
• Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques
• Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques
• Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné
• Résolution d'inéquations trigonométriques et lecture sur le cercle
• Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions trigonométriques