Dérivée de la fonction sinus : ()' =

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Dérivabilité : sinus est dérivable sur R et ()'(x) = (x). • Tangente en 0 : équation y = x (car (0)=0 et '(0)=(0)=1). • Variations sur [0, ] : croissante sur [0, /2], décroissante sur [/2, ]. • Tangentes horizontales en x = /2 + k.

Le cours

Théorème fondamental de dérivation La fonction sinus est dérivable sur R tout entier, et sa fonction dérivée est la fonction cosinus : ()'(x) = (x) Pente des tangentes remarquables • En x = 0 : ()'(0) = (0) = 1. La tangente à l'origine est la première bissectrice d'équation y = x. • En x = /2 : ()'(/2) = (/2) = 0. Tangente horizontale au sommet (y = 1). • En x = : ()'() = () = -1. Pente descendante d'équation y = -(x - ). Sens de variation de sinus sur [0, ] Puisque ()'(x) = (x) : • Sur [0, /2], (x) 0 : sinus est strictement croissante de 0 à 1. • Sur [/2, ], (x) 0 : sinus est strictement décroissante de 1 à 0. Dérivées successives La dérivée seconde de sinus est ()' = -. Ainsi, la fonction sinus vérifie l'équation différentielle harmonique caractéristique : y'' + y = 0

Dans ce chapitre

• Cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables de Première
• Équations trigonométriques élémentaires et symétries de Première
• Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R
• Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première
• Parité : (-x) = (x) et (-x) = -(x) et conséquences graphiques
• Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]
• Formules d'addition et de duplication pour cosinus et sinus
• Dérivée de la fonction sinus : ()' =
• Dérivée de la fonction cosinus : ()' = -
• Dérivation des composées x ( x + ) et x ( x + )
• Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques
• Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1
• Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques
• Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques
• Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné
• Résolution d'inéquations trigonométriques et lecture sur le cercle
• Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions trigonométriques