Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• f''(x) 0 f convexe ; f''(x) 0 f concave. • Sinus : concave sur [0, ], convexe sur [-, 0], points d'inflexion en k. • Cosinus : concave sur [-/2, /2], convexe sur [/2, 3/2], points d'inflexion en /2 + k. • Au point d'inflexion, la dérivée seconde s'annule et change de signe, la courbe traverse sa tangente.

Le cours

Convexité et signe de la dérivée seconde Une fonction f est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde vérifie f''(x) 0 pour tout x I. Elle est concave si f''(x) 0. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, ce qui équivaut à un changement de signe de la dérivée seconde f'' en s'annulant. Convexité de la fonction sinus On a ()''(x) = -(x) : • Sur [0, ], (x) 0 ()''(x) 0 : sinus est concave. • Sur [-, 0], (x) 0 ()''(x) 0 : sinus est convexe. • Les points d'abscisses x = k (k Z) sont des points d'inflexion. Convexité de la fonction cosinus On a ()''(x) = -(x) : • Sur [-/2, /2], (x) 0 ()''(x) 0 : cosinus est concave. • Sur [/2, 3/2], (x) 0 ()''(x) 0 : cosinus est convexe. • Les points x = /2 + k sont des points d'inflexion. Position par rapport aux tangentes • Quand la fonction est concave, la courbe est en dessous de toutes ses tangentes (ex: x x sur [0, ]). • Quand la fonction est convexe, la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Dans ce chapitre

• Cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables de Première
• Équations trigonométriques élémentaires et symétries de Première
• Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R
• Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première
• Parité : (-x) = (x) et (-x) = -(x) et conséquences graphiques
• Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]
• Formules d'addition et de duplication pour cosinus et sinus
• Dérivée de la fonction sinus : ()' =
• Dérivée de la fonction cosinus : ()' = -
• Dérivation des composées x ( x + ) et x ( x + )
• Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques
• Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1
• Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques
• Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques
• Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné
• Résolution d'inéquations trigonométriques et lecture sur le cercle
• Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions trigonométriques