Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Limite fondamentale en 0 : _x 0 (x)/x = 1 (taux d'accroissement de en 0). • Limite associée : _x 0 1-(x)/x^2 = 1/2 (alors que _x 0 (x) - 1/x = ()'(0) = 0). • À l'infini : (x) et (x) oscillent sans limite ; mais par encadrement, _x + x/x = 0. • Pour a 0 : _x 0 (ax)/x = a.

Le cours

La limite fondamentale en 0 comme taux de variation Au voisinage de 0, la fonction (x)/x présente une forme indéterminée « 0/0 ». Par définition du nombre dérivé de sinus en 0 : _x 0 (x)/x = _x 0 (x) - (0)/x - 0 = ()'(0) = (0) = 1 Limites associées en 0 • _x 0 1 - (x)/x^2 = 1/2 • _x 0 (x)/x = 1 • Pour tout réel a 0 : _x 0 (ax)/ax = 1, d'où _x 0 (ax)/x = a. Limites à l'infini et théorème d'encadrement Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en + et en - (elles oscillent indéfiniment). Cependant, en utilisant l'encadrement -1 (x) 1 et le théorème des gendarmes : _x + (x)/x = 0 et _x + (x)/x = 0 Approximations au voisinage de 0 Au voisinage de 0 : (x) x et 1 - (x) x^2/2. Ces approximations locales permettent d'anticiper la valeur des limites sans hésitation.

Dans ce chapitre

• Cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables de Première
• Équations trigonométriques élémentaires et symétries de Première
• Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R
• Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première
• Parité : (-x) = (x) et (-x) = -(x) et conséquences graphiques
• Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]
• Formules d'addition et de duplication pour cosinus et sinus
• Dérivée de la fonction sinus : ()' =
• Dérivée de la fonction cosinus : ()' = -
• Dérivation des composées x ( x + ) et x ( x + )
• Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques
• Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1
• Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques
• Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques
• Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné
• Résolution d'inéquations trigonométriques et lecture sur le cercle
• Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions trigonométriques