Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Démarche en 3 temps : Solutions générales dans R avec k Z Encadrement dans [a, b] Valeurs entières de k. • Changement d'inconnue : X = x ou X = x impose impérativement -1 X 1. • Rejeter immédiatement toute racine de l'équation en X située hors de [-1, 1].

Le cours

Méthode experte de résolution sur un intervalle borné [a, b] Pour résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle borné (comme [0, 2] ou [-, ]), on détermine d'abord l'ensemble infini des solutions dans R en fonction de k Z, puis on encadre pour trouver les entiers k admissibles. Équations avec argument dilaté : ( x) = c Pour (3x) = 1/2 sur [0, ] : 1. On pose 3x = + 2k ou 3x = - + 2k avec = /3. 2. On divise par 3 : x = /9 + 2k/3 ou x = -/9 + 2k/3. 3. On sélectionne les entiers k pour que x [0, ]. Équations réductibles au second degré Pour 2^2(x) + (x) - 1 = 0 : 1. On pose le changement de variable X = (x) avec X [-1, 1]. 2. On résout le polynôme 2X^2 + X - 1 = 0 (racines X_1 = 1/2 et X_2 = -1). 3. On résout séparément (x) = 1/2 et (x) = -1 sur l'intervalle demandé. Vérification visuelle sur le cercle Trace toujours le cercle trigonométrique au brouillon pour visualiser instantanément la répartition des points et éviter d'oublier ou d'ajouter indûment des solutions.

Dans ce chapitre

• Cercle trigonométrique, radians et valeurs remarquables de Première
• Équations trigonométriques élémentaires et symétries de Première
• Définition des fonctions cosinus et sinus sur la droite réelle R
• Parité, périodicité et symétries des courbes de Seconde et Première
• Parité : (-x) = (x) et (-x) = -(x) et conséquences graphiques
• Périodicité 2 et réduction de l'intervalle d'étude à [0, ]
• Formules d'addition et de duplication pour cosinus et sinus
• Dérivée de la fonction sinus : ()' =
• Dérivée de la fonction cosinus : ()' = -
• Dérivation des composées x ( x + ) et x ( x + )
• Dérivation de produits et quotients de fonctions trigonométriques
• Limites trigonométriques usuelles et limite fondamentale _x 0 x/x = 1
• Étude des variations et tableau complet de fonctions trigonométriques
• Convexité et points d'inflexion des fonctions trigonométriques
• Résolution d'équations trigonométriques sur un intervalle borné
• Résolution d'inéquations trigonométriques et lecture sur le cercle
• Modélisation de mouvements oscillatoires et signaux harmoniques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Fonctions trigonométriques