Définition et notations d'une suite

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (u_n) désigne la suite entière ; u_n désigne un seul nombre, le terme de rang n. • Le terme qui suit u_n est u_n+1, à ne pas confondre avec u_n + 1. • De u_p à u_n, il y a n - p + 1 termes.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Une **suite numérique** est une fonction u définie sur l'ensemble des entiers naturels N (ou à partir d'un rang n_0) à valeurs dans R. - L'image de l'entier n est notée u_n (ou u(n)) et appelée **terme de rang n** (ou terme général). - La suite dans sa globalité est notée (u_n)_n N ou simplement (u_n). - u_0 est le premier terme (ou terme initial), u_1 le deuxième, u_n+1 le terme qui suit immédiatement u_n. ### 2. Lire et manipuler les indices - Le **rang** (l'indice) est un entier ; le **terme** u_n est un nombre réel. Dans u_5 = 12, le rang est 5 et le terme vaut 12. - **Décalage d'indice** : le terme qui suit u_n est u_n+1, celui qui le précède est u_n-1 (pour n 1) ; le terme qui suit u_2n est u_2n+1. - **Nombre de termes** : de u_p à u_n (avec p n), il y a n - p + 1 termes. De u_0 à u_10, il y en a 11. - **Trois façons de définir une suite** : par une formule explicite u_n = f(n), par une relation de récurrence (un premier terme et une règle pour passer de u_n à u_n+1), ou par une description (« u_n est le n-ième nombre impair », pour n 1). ### 3. Mini-exemple Pour u_n = n^2 + 1 : u_0 = 1, u_1 = 2, u_2 = 5. Le terme suivant s'écrit u_n+1 = (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2, alors que u_n + 1 = n^2 + 2. Pour n = 2 : u_3 = 10, mais u_2 + 1 = 6.

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