Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Pour q 1 : 1 + q + q^2 + + q^n = 1 - q^n+11 - q. • Suite géométrique de raison q 1 : somme de N termes consécutifs = premier terme 1 - q^N/1 - q. • Si q = 1, la somme de N termes vaut N fois le premier terme.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental 1. **Somme des puissances d'un réel q 1** : 1 + q + q^2 + + q^n = _k=0^n q^k = 1 - q^n+11 - q 2. **Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique (q 1)** : Somme = premier terme 1 - q^nombre de termes1 - q Si q = 1, tous les termes sont égaux et la somme vaut : (nombre de termes) u_0. ### 2. Méthode - **Identifier** le premier terme de la somme et la raison q. - **Compter** les termes : de u_p à u_n, il y a n - p + 1 termes. Pour une somme écrite en valeurs, on cherche d'abord le rang du dernier terme. - **Appliquer** S = premier terme 1 - q^nombre de termes1 - q puis contrôler sur les premiers termes. Mini-exemple : 5 + 10 + 20 + + 640. Premier terme 5, raison 2 et 640 = 5 2^7 : il y a 8 termes, donc S = 5 1 - 2^8/1 - 2 = 5 255 = 1\,275. ### 3. Pourquoi la formule est vraie Si S = 1 + q + + q^n, alors qS = q + q^2 + + q^n+1. En soustrayant, presque tous les termes disparaissent : S - qS = 1 - q^n+1, d'où S = 1 - q^n+11 - q lorsque q 1.

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