Définition par récurrence d'une suite arithmétique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (u_n) est arithmétique de raison r si, pour tout n, u_n+1 = u_n + r. • Preuve : la différence u_n+1 - u_n est constante (elle ne dépend pas de n). • Trois nombres a, b, c sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si 2b = a + c.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Une suite (u_n)_n N est dite **arithmétique** s'il existe un nombre réel r, appelé **raison**, tel que pour tout entier naturel n : u_n+1 = u_n + r Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours la même quantité constante r. Pour prouver qu'une suite est arithmétique, on calcule la différence u_n+1 - u_n et on montre qu'elle est constante et indépendante de n. ### 2. Représentation visuelle et schéma clé n u_n 0 1 2 3 4 Points isolés alignés (Raison r > 0) ### 3. Méthode : prouver qu'une suite est (ou n'est pas) arithmétique - **Exprimer** u_n+1 en fonction de n (formule explicite) ou de u_n (récurrence). - **Soustraire** : on calcule u_n+1 - u_n et on simplifie. - **Conclure** : si le résultat est un nombre r qui ne dépend pas de n, la suite est arithmétique de raison r. Pour prouver qu'elle ne l'est pas, il suffit d'exhiber deux différences distinctes, par exemple u_1 - u_0 u_2 - u_1. Mini-exemple : pour u_n = 7 - 2n, u_n+1 - u_n = (7 - 2n - 2) - (7 - 2n) = -2. La suite est arithmétique de raison -2 et de premier terme u_0 = 7. Situations modélisées : une grandeur qui augmente (ou diminue) de la **même quantité** à chaque étape, comme une épargne complétée de 50\ € par mois ou un arbre qui grandit de 30\ cm par an.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques