Limite infinie et divergence

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• _n + u_n = + : u_n dépasse n'importe quel seuil fixé, pour n assez grand. • _n + u_n = - : u_n devient inférieur à n'importe quel nombre fixé, pour n assez grand. • Une suite divergente tend vers + ou -, ou bien n'a pas de limite.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental On dit qu'une suite (u_n) a pour **limite +** (noté _n + u_n = +) si les termes u_n deviennent aussi grands que l'on veut dès que n est suffisamment grand. De même, _n + u_n = - si les termes deviennent indéfiniment négatifs de très grande valeur absolue. Une suite qui n'est pas convergente est dite **divergente** (soit parce qu'elle tend vers , soit parce qu'elle n'a pas de limite). **Suites de référence tendant vers +** : _n + n = +, _n + n^2 = +, _n + n = +. ### 2. Méthode : conjecturer et justifier une limite infinie - **Tableau de valeurs** : on calcule u_10, u_100, u_1\,000 et on regarde si les termes finissent par dépasser n'importe quel seuil fixé à l'avance (10^3, 10^6…). - **Recherche de seuil** : pour un seuil A, on cherche à partir de quel rang u_n > A. Pour u_n = 2n + 3 et A = 10^6 : 2n + 3 > 10^6 n > 499\,998,5, donc dès n = 499\,999. Comme on trouve un tel rang pour tout seuil A, la suite tend vers +. - **Écriture adaptée** : on repère le terme qui l'emporte (la plus grande puissance de n) ou on minore u_n par une suite plus simple qui tend vers +. ### 3. Attention Une suite croissante ne tend pas forcément vers + : u_n = 3 - 1/n est croissante mais se rapproche de 3. Et une suite qui prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue n'a pas forcément de limite : (-1)^n n vaut -1 ; 2 ; -3 ; 4… et n'a pas de limite.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques