Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• 1 + 2 + + n = n(n+1)/2. • Suite arithmétique : somme de termes consécutifs = (nombre de termes) premier + dernier2. • De u_p à u_n, la somme compte n - p + 1 termes.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental 1. **Somme des premiers entiers naturels** : 1 + 2 + 3 + + n = _k=1^n k = n(n+1)/2 2. **Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique** : Somme = (nombre de termes) premier terme + dernier terme2 Le nombre de termes entre l'indice p et l'indice n est donné par : (n - p + 1). ### 2. Méthode - **Compter les termes** : de u_p à u_n, il y a n - p + 1 termes. - **Trouver le dernier terme** avec la formule explicite u_n = u_0 + nr. - **Appliquer** S = (nombre de termes) premier terme + dernier terme2. - Une somme d'entiers qui ne commence pas à 1 se traite de la même façon : 10 + 11 + + 30 compte 30 - 10 + 1 = 21 termes, donc S = 21 10 + 30/2 = 420. ### 3. Pourquoi la formule est vraie On écrit la somme S deux fois, une fois dans l'ordre croissant et une fois dans l'ordre décroissant, puis on additionne terme à terme : chaque paire (premier et dernier, deuxième et avant-dernier…) a la même valeur, égale à premier terme + dernier terme. On obtient 2S = (nombre de termes) (premier terme + dernier terme). C'est l'astuce attribuée à Gauss enfant pour calculer 1 + 2 + + 100.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques