Définition par récurrence d'une suite géométrique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (u_n) est géométrique de raison q si, pour tout n, u_n+1 = q u_n. • Termes non nuls : le quotient u_n+1u_n est constant, égal à q. • Hausse de t\ \% par étape : q = 1 + t/100 ; baisse de t\ \% : q = 1 - t/100.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Une suite (u_n)_n N est dite **géométrique** s'il existe un nombre réel q, appelé **raison**, tel que pour tout entier naturel n : u_n+1 = q u_n Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par la même constante q. Pour prouver qu'une suite dont les termes sont non nuls est géométrique, on montre que le quotient u_n+1u_n est constant et indépendant de n. ### 2. Méthode : prouver qu'une suite est (ou n'est pas) géométrique - **Par récurrence** : on cherche à écrire u_n+1 = q u_n, avec un nombre q qui ne dépend pas de n. - **Par une formule explicite à termes non nuls** : on calcule u_n+1u_n, on simplifie avec les règles sur les puissances et on vérifie que le quotient est constant. - **Pour prouver qu'une suite n'est pas géométrique**, il suffit d'exhiber deux quotients différents : pour 1 ; 2 ; 6, on a 2/1 = 2 mais 6/2 = 3. ### 3. Situations modélisées Une évolution d'un **même pourcentage** à chaque étape est géométrique : une hausse de 3\ \% par an correspond à q = 1,03, une baisse de 20\ \% à q = 0,8. Mini-exemple : un placement de 2\,000\ € à 3\ \% par an vérifie C_n+1 = 1,03\,C_n, d'où C_1 = 2\,060\ € et C_2 = 2\,121,80\ €.

Dans ce chapitre

• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et calculs itératifs de Seconde
• Fonctions de référence et tableaux de valeurs de Seconde
• Notion de croissance et décroissance d'une fonction de Seconde
• Définition et notations d'une suite
• Suites définies par formule explicite
• Suites définies par récurrence
• Représentation graphique et modélisation discrète
• Définition par récurrence d'une suite arithmétique
• Formule explicite du terme général
• Sens de variation d'une suite arithmétique
• Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
• Définition par récurrence d'une suite géométrique
• Formule explicite du terme général — Cas particulier
• Sens de variation d'une suite géométrique
• Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
• Limite finie et convergence intuitive
• Limite infinie et divergence
• Comportement de qⁿ quand n devient grand (approche intuitive)
• Bilan : Synthèse et méthode sur Suites numériques